一道有点难度的几何题
正△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，AD上取点E，使DE=CD，连接BE、CE，若∠BEC=120度，求BE/CE。大家可以试试，有没有比较好的做法。大概2天后我贴个解法。
黄金分割点 qinruoxi 发表于 2025-02-25 21:21
黄金分割点
贴下你的解答过程 大娃说作三角形BEC的外接圆, 再延长AD 与圆相交，
利用割线定理 和 余弦定理可以解出来 BE : CE = (sqrt{5}+1 ) / 2
我家大娃的解法
低头，默默的绕开！:D 关注下解法，哈哈 我默默的截图给AI做去了 AI说等于1，反正我看不懂哈哈哈 我觉得在数学题上，AI会一本正经的胡说八道 一麻麻 发表于 2025-2-26 09:04
我家大娃的解法
娃很棒，解法不错。 大家热情这么高，我贴下自己的解法。
易得∠ECB=∠ABE=a1，∠EBC=∠ECA=a2。
由塞瓦角元定理, sin∠BAD/sin∠DAC*sina2/sina1*sina2/sina1=1 => sin∠BAD/sin∠DAC=(sina1/sina2)^2 => BD/DC=(BE/EC)^2。
设BE=x, CE=1, BC=sqrt(x^2+x+1), BD/DC=x^2。下面就是应用斯特**(Stewart)定理计算DE了。
ED^2=2x^2/(x^2+1)-x^2* /((x^2+1)^2)*(x^2+x+1), DC^2=1/((x^2+1)^2*(x^2+x+1)。
ED=DC可以推导出(x^2+1)(x^2-x-1)=0 => x=(1+sqrt(5))/2。
如果不熟悉塞瓦角元定理，也可以通过纯几何方式推导，如下：
△BEC绕C点逆时针旋转60度到△AHC，易知BEH三点共线，BH交AC与F。∠HAC=∠EBC=∠ECA=》AH // EC，AF/FC=AH/EC=BE/EC。
另一方面，易知△BCF≌△CAG，CF=AG，FA=GB。
由塞瓦定理 BD/DC*CF/FA*AG/GB=1=>BD/DC=(AF/FC)^2=(BE/EC)^2。
借上面的图，旋转BEC至AHC，延长HC、AD交于I点，通过角度计算易得EC//AH，BED全等于ICD，
得BE/CE=IC/CE=IH/AH=(BE+CE)/BE，解方程即可。 一麻麻 发表于 2025-2-26 09:04
我家大娃的解法
几何渣表示看不懂... 几个问题能否解答下：
1. 为什么做BEC的外接圆，AC正好是外接圆的切线？
2. 为什么延长AD到外接圆上，EF=BC=1？
2. 延长BE到E', 连接AE'，使AE'=BE。（我理解你是这么做的辅助线）那为什么可以得出角AE'B=60度？ 为什么此时EE’ 又正好等于E'C，而且角EE'C正好等于60度？ qinruoxi 发表于 2025-02-26 19:31
借上面的图，旋转BEC至AHC，延长HC、AD交于I点，通过角度计算易得EC//AH，BED全等于ICD，
得BE/CE=IC/CE=IH/AH=(BE+CE)/BE，解方程即可。
方法也很不错，赞！ 你们在说什么
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